Question

在一個(gè)人數(shù)很多的單位中普查某種疾病，n個(gè)人去驗(yàn)血，可以用兩種方案進(jìn)行：

（1）每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這需要n次；

（2）按k個(gè)人一組進(jìn)行分組，把k個(gè)人的血混在一起化驗(yàn)，如果結(jié)果是陰性的，那么這k個(gè)人只作一次化驗(yàn)就夠了，如果結(jié)果是陽性的，那么就必須對(duì)這k個(gè)人逐一化驗(yàn)，即對(duì)這k個(gè)人進(jìn)行k+1次化驗(yàn)，假定對(duì)所有人來說，化驗(yàn)是陽性反應(yīng)的概率都是p，且這些人的化驗(yàn)是相互獨(dú)立的，求按第二種方案這n個(gè)人平均需要化驗(yàn)的次數(shù).

 

Answer 1

點(diǎn)拔：第二種方案中k個(gè)人一組化驗(yàn)，呈陰性和呈陽性時(shí)每個(gè)人的血化驗(yàn)的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ的取值，所以第二種方案這n個(gè)人平均化驗(yàn)的次數(shù)即為nEξ.

解析：按第二種方案，k個(gè)人一組化驗(yàn)，若混合呈陰性，則一個(gè)人的血化驗(yàn)次，若混合呈陽性，則一個(gè)人的血化驗(yàn)次.

又k個(gè)人的混合血化驗(yàn)是陰性的概率是（1-p）^k，呈陽性的概率是1-（1-p）^k.

于是有分布列

ξ
P	（1-p）k	1-（1-p）k

∴平均化驗(yàn)次數(shù)即ξ的數(shù)學(xué)期望.

∴Eξ=（1-p）^k+ ［1-（1-p）^k］=1+-（1-p）^k.

∴按第二種方案這n個(gè)人平均需要化驗(yàn)的次數(shù)為n［1+-（1-p）^k］.