已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b為實數(shù)),x∈R,F(x)=
f(x)(x>0)
-f(x)(x<0)

(1)若f(-1)=0,且函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞),求F(x)的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,2]時,g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)m•n<0,m+n>0,a>0且f(x)為偶函數(shù),判斷F(m)+F(n)能否大于零.
分析:(1)由f(-1)=0得a-b+1=0①,由x∈R,f(x)的值域為[0,+∞),得∴
a>0
△=b2-4a=0
②,聯(lián)立①②可解a,b;
(2)由(1)表示出g(x),根據(jù)拋物線對稱軸與區(qū)間[-2,2]位置可得不等式,解出即可;
(3)由f(x)為偶函數(shù)可得b=0,從而可表示出F(x),由mn<0,不妨設(shè)m>0,n<0,則m>-n>0,即|m|>|-n|,由此刻判斷F(m)+F(n)的符號;
解答:解:(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0①,
又x∈R,f(x)的值域為[0,+∞),
a>0
△=b2-4a=0
②,
由①②消掉a得,b2-4(b-1)=0,
∴b=2,a=1,
∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2
F(x)=
(x+1)2,x>0
-(x+1)2,x<0
;
(2)由(1)知,g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1=(x+
2-k
2
)2+1-
(2-k)2
4
,
當(dāng)
k-2
2
≥2
k-2
2
≤-2
時,
即k≥6或k≤-2時,g(x)是單調(diào)函數(shù).
(3)∵f(x)是偶函數(shù),
∴f(x)=ax2+1,F(x)=
ax2+1(x>0)
-ax2-1(x<0)
,
∵m•n<0,設(shè)m>n,則n<0.
又m+n>0,
∴m>-n>0,
∴|m|>|-n|,
F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0,
∴F(m)+F(n)能大于零.
點評:本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其綜合應(yīng)用,考查二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),考查學(xué)生分析解決問題的能力.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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