Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+bx（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（1）=

1

3

，且函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上不存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)=1代入f（x）=

1

3

x3+x2+bx，求導(dǎo)得f′（x）=x²+2x+b，分△=4-4b≤0，與△=4-4b＞0兩種情況討論得出單調(diào)區(qū)間；
（2）令f′（x）=0得x²+2ax-a=0進(jìn)一步得函數(shù)a=

x2

1-2x

，令t=1-2x，則t∈（0，1），故a=

x2

1-2x

=

1

4

(t+

1

t

-2)，求出a的范圍，得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1

3

x3+x2+bx，∴f′（x）=x²+2x+b，
①若△=4-4b≤0，即b≥1 時(shí)，f′（x）=x²+2x+b≥0
所以f（x）為 R上的增函數(shù)，所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）；
②若△=4-4b＞0，即b＜1時(shí)，f'（x）=(x+1+

1-b

)(x+1-

1-b

)，
由f′（x）＞0得x＜-1-

1-b

，或x＞-1+

1-b

所以f（x） 在（-∞，-1-

1-b

）與（-1+

1-b

，+∞）上為增函數(shù)，
在（-1-

1-b

，-1+

1-b

） 上為減函數(shù)．   
所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1-

1-b

）與（-1+

1-b

，+∞）；減區(qū)間為（-1-

1-b

，-1+

1-b

）上．
（2）由f(1)=

1

3

，得b=-a，
即f（x）=

1

3

x3+ax2-ax，∴f′（x）=x²+2ax-a．
令f′（x）=0得x²+2ax-a=0，∴（1-2x）a=x²，
∵0＜x＜

1

2

，∴1-2x≠0，∴a=

x2

1-2x

，
令t=1-2x，則t∈（0，1），∴a=

x2

1-2x

=

1

4

(t+

1

t

-2)，
∵h(t)=t+

1

t

-2在t∈（0，1）上單調(diào)遞減，故h（t）∈（0，+∞），
∴

1

4

(t+

1

t

-2)∈（0，+∞），∴a∈（0，+∞），
函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上不存在極值點(diǎn)，∴a=

x2

1-2x

在（0，

1

2

）上無(wú)解，
∴a∈（-∞，0]
綜上，a的取值范圍為（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求解函數(shù)的值域是解題的關(guān)鍵．