Question

12．某同學用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如表：

x	$\frac{π}{6}$				$\frac{7π}{6}$
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2

（Ⅰ）請將上表數(shù)據(jù)補全，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)可得A，列關于ω、φ的二元一次方程組，求得ω、φ的值，得到函數(shù)解析式；
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍，可求2x-$\frac{π}{3}$的范圍，利用正弦函數(shù)的性質即可得解值域．

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）將表數(shù)據(jù)補全如下：

x	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	$\frac{7π}{6}$
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

…（4分）
由表中知A=2，
由$\left\{\begin{array}{l}ω•\frac{5π}{12}+φ=\frac{π}{2}\\ ω•\frac{11π}{12}+φ=\frac{3π}{2}\end{array}\right.$，解得ω=2，$φ=-\frac{π}{3}$，
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$；…（8分）
（II）因為$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
所以$（{2x-\frac{π}{3}}）∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
則$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$，
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的值域為$[-\sqrt{3}，2]$．…（12分）

點評 本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解函數(shù)解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性質，訓練了五點作圖法，是中檔題．