Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2-m）+f（-m）-m²+2m-2≥0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． [-1，1]
• B． [1，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 利用構(gòu)造法g（x）=f（x）-x²，推出g（x）為奇函數(shù)，判斷g（x）的單調(diào)性，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-x²+f（-x）=0，
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
則g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上也是減函數(shù)，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是減函數(shù)．
f（2-m）+f（-m）-m²+2m-2≥0，則g（2-m）+$\frac{1}{2}$（2-m）²+f（-m）-$\frac{1}{2}$（-m）²-m²+2m-2≥0，
即g（2-m）+g（-m）≥0，即g（2-m）-g（m）≥0，
∴2-m≤m，解得m≥1
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．