Question

已知常數(shù)a＞0，向量=（0，a），=（1，0），經(jīng)過原點(diǎn)O以+λ，為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（0，a）以i-2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R．試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值．若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)和，求得+λ和-2λ進(jìn)而可得直線OP和AP的方程，消去參數(shù)λ，得點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足方程，進(jìn)而整理可得關(guān)于x和y的方程，進(jìn)而看當(dāng)時(shí)，方程為圓不符合題意；當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，P的軌跡為橢圓符合兩定點(diǎn)．
解答：解：∵i=（1，0），c=（0，a），
∴c+λi=（λ，a），i-2λc=（1，-2λa）．
因此，直線OP和AP的方程分別為λy=ax和y-a=（-2λa-a）x．
消去參數(shù)λ，得點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足方程y（y-a）=-2a²x²．
整理得．①
因?yàn)閍＞0，所以得：
（i）當(dāng)時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；
（ii）當(dāng)時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；
（iii）當(dāng)時(shí)，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題主要考查平面向量的概念和計(jì)算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．