Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=

( 1 2 )x，0≤x＜2 log16x，x≥2

，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：確定函數(shù)f（x）的性質(zhì)，可得關(guān)于x的方程[f（x）]²+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則方程t²+at+b=0必有兩個(gè)根t₁，t₂，其中t₁=1，t₂∈（

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，1），根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意，f（x）在（-∞，-2]和[0，2]上是減函數(shù)，在[-2，0]和[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴x=0時(shí)，函數(shù)取極大值1，x=±2時(shí)，取極小值

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，
|x|≥16時(shí)，f（x）≥1，
∴關(guān)于x的方程[f（x）]²+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
設(shè)t=f（x），
則方程t²+at+b=0必有兩個(gè)根t₁，t₂，其中t₁=1，t₂∈（

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，1），
t₁+t₂=-a∈（

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，2），
則-2＜a＜-

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a∈（-2，-

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），
故答案為：-2＜a＜-

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點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確理解函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．