Question

已知a＞1，函數(shù)f（x）=log_a（x²-ax+2）在x∈[2，+∞）時的值恒為正．
（1）a的取值范圍；
（2）記（1）中a的取值范圍為集合A，函數(shù)g（x）=log₂（tx²+2x-2）的定義域為集合B．若A∩B≠∅，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲使x²-ax+2＞1在x∈[2，+∞）時恒成立，轉(zhuǎn)化成a＜x+

1

x

在x∈[2，+∞）時恒成立，根據(jù)
函數(shù)x+

1

x

在[2，+∞）上的單調(diào)性求出最小值即可，使a小于最小值即可，注意條件a＞1；
（2）先求出集合A，表示出集合B，根據(jù)A∩B≠∅，得不等式tx²+2x-2＞0有屬于A的解，即t＞

2

x2

-

2

x

有屬于A的解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出

2

x2

-

2

x

的值域，即可求出t的范圍．

解答：解：（1）x²-ax+2＞1在x∈[2，+∞）時恒成立．即a＜x+

1

x

在x∈[2，+∞）時恒成立．
又函數(shù)x+

1

x

在[2，+∞）上是增函數(shù)，
所以(x+

1

x

)min=

5

2

，
從而1＜a＜

5

2

．（6分）
（2）A=(1，

5

2

)，B={x|tx²+2x-2＞0}．
由于A∩B≠∅，
所以不等式tx²+2x-2＞0有屬于A的解，
即t＞

2

x2

-

2

x

有屬于A的解．（8分）
又1＜x＜

5

2

時，

2

5

＜

1

x

＜1，
所以

2

x2

-

2

x

=2(

1

x

-

1

2

)2-

1

2

∈[-

1

2

，0)．
故t＞-

1

2

．（12分）

點評：本題主要考查了二次函數(shù)恒成立問題，以及函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)基礎知識，同時考查了分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．