Question

寫出適合下列條件的曲線方程：
（1）a+b=10，c=2

5

求橢圓的標準方程．
（2）已知雙曲線兩個焦點分別為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），雙曲線上一點P到F₁，F(xiàn)₂距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的標準方程與基本量的平方關(guān)系，結(jié)合題意建立關(guān)于a、b、c的方程組，解出a²=36且b²=16，即可得到所求橢圓的標準方程．
（2）設(shè)雙曲線的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，根據(jù)雙曲線的定義得2a=6，從而得到a=3，結(jié)合c=5利用平方關(guān)系算出b²=16，即可得出所求雙曲線的標準方程．

解答：解：（1）當橢圓的焦點在x軸上時，設(shè)橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵

a+b=10 c=2 5 a2=b2+c2

，
解得a²=36，b²=16．
∴橢圓的標準方程為

x2

36

+

y2

16

=1；
當橢圓的焦點在y軸上時，同理可得橢圓方程為

y2

36

+

x2

16

=1．
綜上所述，所求橢圓的標準方程為

x2

36

+

y2

16

=1或

y2

36

+

x2

16

=1．
（2）∵雙曲線焦點在x軸上，
∴設(shè)雙曲線的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
根據(jù)雙曲線的定義，可得2a=6且2c=10，
∴a=3，c=5，得b²=c²-a²=16，
因此，所求雙曲線的標準方程為

x2

9

-

y2

16

=1．

點評：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的標準方程．著重考查了橢圓、雙曲線的定義與標準方程等知識，屬于基礎(chǔ)題．