Question

12．如圖，AD是△ABC的角平分線，以AD為直徑的圓與BC相切于D點(diǎn)，與AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（I）求證：BE•AD=ED•DC；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，若圓的半徑為r，求EC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接EC，ED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出，
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DB=DA=2r，根據(jù)勾股定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）連接EC，ED，
因?yàn)锳D為直徑，所以∠AED=90°，
又圓與BC相切于點(diǎn)D，
所以∠ADC=90°，∠BDE=∠CAD，
因此Rt△BED∽R(shí)tCDA，
所以$\frac{BE}{DC}$=$\frac{ED}{AD}$，
即BE•AD=ED•DC，
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，DB=DA=2r，
此時(shí)AC=AB=2AE=2$\sqrt{2}$r，
且由（Ⅰ）的證明，易知∠BAC=90°，
因此在Rt△EAC中，有EC=$\sqrt{（\sqrt{2}r）^{2}+（2\sqrt{2}r）^{2}}$=$\sqrt{10}$r，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和勾股定理，屬于中檔題．