Question

已知f（x）=．是否存在實數(shù)p、q、m，使f（x）同時滿足下列三個條件：
①定義域為R的奇函數(shù)；
②在[1，+∞）上是減函數(shù)；
③最小值是-1．若存在，求出p、q、m；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：∵f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（0）=0 即q=0，得q=1
又f（-x）=-f（x）
∴=-，
∴=，
即（x²+1）²-p²x²=（x²+1）²-m²x²
∴p²=m²
若p=m，則f（x）=0，不合題意．故p=-m≠0
∴f（x）=
由f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
x≠0時，令g（x）==1-=1-
∵在[1，+∞）上遞增，在（-∞，-1）也遞增，只有m＞0時，在[1，+∞）上g（x）遞增，從而f（x）遞減．
即m＞0時函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，在（-1，0）上為增函數(shù)，在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）上為減函數(shù)
∴x=-1時，在（-∞，-1]上取得最大值-2，此時由f（x）的最小值為-1得g（x）的最大值為3．
∴1-=3 得m=1，從而p=-1
綜上可知，存在p=-1，q=1，m=1．
分析：先利用奇函數(shù)的定義得q=1，且p=-m≠0，再利用復(fù)合函數(shù)法，結(jié)合已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷m＞0，從而確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，最后結(jié)合單調(diào)性與已知的最小值，推測只能當(dāng)x=-1時函數(shù)f（x）取最小值-1，從而解得m的值，進(jìn)而得p、q、m的值
點評：本題考查了奇函數(shù)的定義及其應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性求函數(shù)最值的方法，邏輯推理能力和運算能力