在三角形ABC所在平面內有一點H滿足
HA
2+
BC
2=
HB
2+
CA
2=
HC
2+
AB
2，則H點是三角形ABC的
垂心
垂心
．
分析：根據(jù)向量的減法分別用
HA
，
HB
，
HC
表示
BC
，
CA
，
AB
，利用數(shù)量積運算和題意代入式子進行化簡，證出HC⊥AB，同理可得HB⊥AC，HA⊥BC，即證出H是△ABC的垂心．
解答：解：設
HA
=
a
，
HB
=
b
，
HC
=
c
，則
BC
=
c
-
b
，
CA
=
a
-
c
，
AB
=
b
- 
a
．
由題可知，|
HA
|2+|
BC
|2=|
HB
|2+|
CA
|2=|
HC
|2+|
AB
|2，
∴|
a
|2+|
c
-
b
|2=|
b
|2+|
a
-
c
|2，化簡可得
c
•
b
=
a
•
c
，即（
b
-
a
）•
c
=0，
∴
HC
•
AB
=0，∴
AB
⊥
HC
，即HC⊥AB．
同理可得HB⊥AC，HA⊥BC．
∴H是△ABC的垂心．
故答案為：垂心．
點評：本題考查了向量在幾何中應用，主要利用向量的線性運算以及數(shù)量積進行化簡證明，特別證明垂直主要根據(jù)題意構造向量利用數(shù)量積為零進行證明．
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在三角形ABC所在平面內有一點H滿足
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2=
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2+
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2=
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2+
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2，則H點是三角形ABC的______．

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