Question

2．如圖，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF為矩形，AC=BC．O為AB的中點，OF⊥EC．
（Ⅰ）求證：OE⊥FC：
（Ⅱ）若$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結OC，則OC⊥AB，從而得到OC⊥OF，進而得到OF⊥OE，由此能證明OE⊥FC．
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨設AF=1，AB=2建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可．

解答 （Ⅰ）證明：連結OC，∵AC=BC，O是AB的中點，
故OC⊥AB．  
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，
∴OF⊥OE，
又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC；
（Ⅱ）解：由（I）得AB=2AF．不妨設AF=1，AB=2，
∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴AC=$\sqrt{3}$，則OC=$\sqrt{2}$
建立以O為坐標原點，OC，OB，OD分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
則F（0，-1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），則
$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{2}$，1，1），$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，0），
設平面FCE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x+y+z=0}\\{-2y=0}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow{BE}$=（0，0，1），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}$，-1，0），
∴同理可得平面CEB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∵二面角F-CE-B是鈍二面角，
∴二面角F-CE-B的余弦值為-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查向量方法的運用，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．