Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+2ax²+bx+a的導(dǎo)數(shù)為f'（x），若函數(shù)y=f'（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)y=f'（x）有最小值．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=x²-14x+m，若方程f（x）+g（x）=0只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，可得
∵函數(shù)y=f'（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)y=f'（x）有最小值．
∴，且，解得a=-2、b=5…（3分）
∴f（x）=x³-4x²+5x-2
∴f'（x）=3x²-8x+5=（3x-5）（x-1）
∴當(dāng)x＜1或時(shí)，f'（x）＞0，故函數(shù)y=f（x）在（-∞，1]或上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，故函數(shù)y=f（x）在上單調(diào)遞減
∴x=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）取得極大值f（1）=1-4+5-2=0；
時(shí)，函數(shù)y=f（x）取得極小值…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-4x²+5x-2，∴f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2
令h（x）=f（x）+g（x），則h'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴函數(shù)h（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，3]上單調(diào)遞減，在[3，+∞）上單調(diào)遞增
∴h（x）_極大值=h（-1）=3+m，h（x）_極小值=h（3）=m-29…（9分）
∵方程f（x）+g（x）=0只有一個(gè)實(shí)根
∴或，解得m＜-3或m＞29
∴m的取值范圍是（-∞，-3）∪（29，+∞）…（12分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)y=f'（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)y=f'（x）有最小值，可求出函數(shù)的解析式，從而可確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）確定f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用方程f（x）+g（x）=0只有一個(gè)實(shí)根，構(gòu)建不等式，從而可求m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性．