Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為短軸的一個(gè)端點(diǎn)且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求橢圓的方程;

（2）若、 分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，連接，交橢圓于點(diǎn)，試問軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)，理由見解析

【解析】

(1)本題首先可以根據(jù)得出、的值，然后通過、的值即可計(jì)算得出的值并得出橢圓方程；

(2)本題首先可以根據(jù)(1)中結(jié)論得出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出直線的方程以及點(diǎn)坐標(biāo)，再然后聯(lián)立橢圓以及直線方程得出以及，最后根據(jù)即可得出結(jié)果。

(1)因?yàn)?/span>，

所以，，

所以橢圓方程為。

(2)由(1)可知，，

設(shè)直線的方程為，，則，

聯(lián)立橢圓以及直線可得，整理得，

方程顯然有兩個(gè)解，由韋達(dá)定理可得，得，，

所以，

設(shè)，若存在滿足題設(shè)的點(diǎn)，則，

由，整理可得恒成立，

所以，故存在定點(diǎn)滿足題設(shè)要求。