Question

6．已知函數$f（x）={x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+ax+b（{a，b∈R}）$，函數f（x）的圖象記為曲線C．
（1）若函數f（x）在x=-1時取得極大值2，求a，b的值；
（2）若函數$F（x）=2f（x）-\frac{5}{2}{x^2}-（{2a-1}）x-3b$存在三個不同的零點，求實數b的取值范圍；
（3）設動點A（x₀，f（x₀））處的切線l₁與曲線 C交于另一點B，點B處的切線為l₂，兩切線的斜率分別為k₁，k₂，當a為何值時存在常數λ使得k₂=λk₁？并求出λ的值．

Answer 1

分析 （1）求出導數，由題意可得f'（-1）=0，f（-1）=2，解方程可得a，b的值；
（2）由題意可得方程2x³+$\frac{5}{2}$x²+x-b=0有三個實數解．令g（x）=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x，求出導數和單調區(qū)間，可得極值，即可得到b的范圍；
（3）求出動點A（x₀，f（x₀））處的切線l₁與曲線 C交于另一點B的橫坐標，k₂=λk₁等價于$（3{x_0}^2+5{x_0}）（4-λ）=a（λ-1）-\frac{25}{4}$，即可解得所求λ的值．

解答 （本小題滿分14分）
解：函數$f（x）={x^3}+\frac{5}{2}{x^2}+ax+b$的導函數為f'（x）=3x²+5x+a．
（1）當x=-1時極大值2，則f'（-1）=0，f（-1）=2，
即為3-5+a=0，-1+$\frac{5}{2}$-a+b=2，
解得$a=2，b=\frac{5}{2}$；…（4分）
（2）由題意可得函數$F（x）=2f（x）-\frac{5}{2}{x^2}-（{2a-1}）x-3b$存在三個不同的零點，
即方程2x³+$\frac{5}{2}$x²+x-b=0有三個實數解．
令g（x）=2x³+$\frac{5}{2}$x²+x，則g′（x）=6x²+5x+1=（2x+1）（3x+1），
由g′（x）=0，可得x=-$\frac{1}{2}$或$x=-\frac{1}{3}$，
且$（-∞，-\frac{1}{2}），（-\frac{1}{3}，+∞）$是其單調遞增區(qū)間，$（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}）$是其單調遞減區(qū)間，$g（-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{8}，g（-\frac{1}{3}）=-\frac{7}{54}$．因此，實數b的取值范圍是$（-\frac{7}{54}，-\frac{1}{8}）$．（9分）
（3）由（1）知點A（x₀，f（x₀））處的切線l₁的方程為y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），
與y=f（x）聯立得f（x）-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），即${（x-{x_0}）^2}（x+2{x_0}+\frac{5}{2}）=0$，
所以點B的橫坐標是${x_B}=-（2{x_0}+\frac{5}{2}）$，
可得${k_1}=3{x_0}^2+5{x_0}+a，{k_2}=3{（2{x_0}+\frac{5}{2}）^2}-5（2{x_0}+\frac{5}{2}）+a$，
即${k_2}=12{x_0}^2+20{x_0}+\frac{25}{4}+a$，k₂=λk₁等價于$（3{x_0}^2+5{x_0}）（4-λ）=a（λ-1）-\frac{25}{4}$，
解得$λ=4，a=\frac{25}{12}$．
綜上可得，當$a=\frac{25}{12}$時存在常數λ=4使得k₂=λk₁．…（14分）

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值，考查存在性問題的解法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．