Question

若函數(shù)y=f（x），x∈D同時滿足下列條件：
（1）在D內(nèi)的單調(diào)函數(shù)；
（2）存在實數(shù)m，n，當(dāng)定義域為[m，n]時，值域為[m，n]．則稱此函數(shù)為D內(nèi)可等射函數(shù)，設(shè)f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0且a≠1），則當(dāng)f （x）為可等射函數(shù)時，a的取值范圍是

（0，1）∪（1，2）

．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)可等射函數(shù)的定義，可得m，n是方程

ax+a-3

lna

= x的兩個根，構(gòu)建函數(shù)g（x）=

ax+a-3

lna

- x，則函數(shù)g（x）=

ax+a-3

lna

- x有兩個零點，分類討論，即可確定a的取值范圍．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=a^x＞0，故函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)
∵存在實數(shù)m，n，當(dāng)定義域為[m，n]時，值域為[m，n]．
∴f（m）=m，f（n）=n
∴m，n是方程

ax+a-3

lna

= x的兩個根
構(gòu)建函數(shù)g（x）=

ax+a-3

lna

- x，則函數(shù)g（x）=

ax+a-3

lna

- x有兩個零點，g′（x）=a^x-1
①0＜a＜1時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）
∵g（0）＞0，∴函數(shù)有兩個零點，故滿足題意；
②a＞1時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）
要使函數(shù)有兩個零點，則g（0）＜0，∴

1+a-3

lna

＜ 0，∴a＜2
∴1＜a＜2
綜上可知，a的取值范圍是（0，1）∪（1，2）
故答案為：（0，1）∪（1，2）．

點評：本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確理解新定義是關(guān)鍵．