Question

圓C：x²+y²=8內(nèi)有一點(diǎn)P₀（-1，2），AB為過點(diǎn)P₀，且傾斜角為α的弦
（Ⅰ）當(dāng)α=

3π

4

時，求|AB|；
（Ⅱ）當(dāng)|AB|最短時，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）直線AB的斜率k=tan

3π

4

=-1，從而直線AB的方程為x+y-1=0，由此能求出弦長|AB|．
（2）當(dāng)|AB|最短時P₀為AB的中點(diǎn)，OA=OB=r，由此能求出直線AB的方程．

解答： 解：（1）直線AB的斜率k=tan

3π

4

=-1，
∴直線AB的方程為y-2=-（x+1），即x+y-1=0
∵圓心O（0，0）到直線AB的距離d=

|-1|

2

=

2

2

，
∴弦長|AB|=2

r2-d2

=2

8- 1 2

=

30

．
（2）當(dāng)|AB|最短時P₀為AB的中點(diǎn)，OA=OB=r，
∴OP₀⊥AB
又kOP0=

2-0

-1-0

=-2，∴k_AB=

1

2

，
∴直線AB的方程為y-2=

1

2

（x+1），即x-2y+5=0．

點(diǎn)評：本題考查弦長的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式和圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．