正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=
an-n,an>n
an+n,an≤n.

(Ⅰ)寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng);
(Ⅱ)將數(shù)列{an}中所有值為1的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)按從小到大的順序依次排列,得到數(shù)列{nk},試用nk表示nk+1(不必證明);
(Ⅲ)求最小的正整數(shù)n,使an=2013.
(Ⅰ)令n=1代入an+1=
an-n,an>n
an+n,an≤n
得,a2=a1+1=2,
令n=2代入得a3=a2+2=4;令n=3代入得a4=a3-3=1,
令n=4代入得a5=a4+4=5;
∴a1=1,a2=2,a3=4,a4=1,a5=5;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知n1=1,n2=4,n3=13,…,
猜想使ank=1的下標(biāo)nk滿足如下遞推關(guān)系:nk+1=3nk+1,k=1,2,3,….
對(duì)k歸納:k=1,2時(shí)已成立,設(shè)已有ank=1,則由(Ⅰ)歸納可得,
ank+1=nk+1,ank+2=2nk+2ank+3=nk,ank+4=2nk+3,….
歸納易得:ank+2m-1=nk+2-m,m=1,2,…,nk+1,ank+2m=2nk+1+m,m=1,2,…,nk,
故當(dāng)m=nk+1時(shí),a3nk+1=nk+2-(nk+1)=1=ank+1
因此nk+1=3nk+1,(k=1,2,3,…)成立.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,nk+1=3nk+1,則2nk+1=2(3nk+1),
即2nk+1+1=3(2nk+1),記2nk+1=xk,
則xk+1=3xk,x1=3,故xk=3k,因此nk=
3k-1
2
,k=1,2,3,…

由nk+1=3nk+1,k=1,2,3,…可知,
當(dāng)n≤3nk=nk+1-1時(shí),an≤3nk+1=nk+1
因此,當(dāng)n<n7時(shí),an≤n7=
37-1
2
=1093;
而當(dāng)n7≤n<n8時(shí),要么有an≤1094,要么有an≥2×1094,即an取不到2013,
進(jìn)而考慮n8≤n<n9的情況,
由(Ⅱ)得,ank+2m-1=nk+2-m,m=1,2,…,nk+1
則n8+2-m=2013,解得m=1269,解得n8+2m-1=5817
a5817=an8+2m-1=n8+2-m=2013
故使得an=2013的最小n為5817.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a2=4,且對(duì)于任何n∈N*,有2+
1
an+1
1
an
+
1
an+1
1
n
-
1
n+1
<2+
1
an
;
(1)求a1,a3;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足a1=2,a2=6,當(dāng)n≥2時(shí),有|
a
2
n
-an-1an+1| <  
1
2
an-1

(1)求a3的值;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(3)記Tn=
12
a1
+
22
a2
+
32
a3
 +K+
n2
an
,證明:對(duì)任意n∈N*Tn
9
4

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設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a2=4,且對(duì)于任何n∈N*,有2+
1
an+1
1
an
+
1
an+1
1
n
-
1
n+1
<2+
1
an
,則a10=
100
100

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=
an-n,an>n
an+n,an≤n.

(Ⅰ)寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng);
(Ⅱ)將數(shù)列{an}中所有值為1的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)按從小到大的順序依次排列,得到數(shù)列{nk},試用nk表示nk+1(不必證明);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷(江西) 題型:解答題

(本小題滿分14分)

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{an}滿足:a2=4,且對(duì)于任何

nN*,有

   (1)求a1,a3;

   (2)求數(shù)列{ an }的通項(xiàng)an

 

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