Question

11．已知數列{ a_n }滿足a₁=$\frac{2}{3}$，且對任意的正整數m，n，都有a_m+n=a_m+a_n．數列{a_n}的前n項和為S_n，若恒有$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$＜T（n∈N^*），則T的最小整數值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據數列的性質歸納得出通項公式，得出{a_n}為等差數列，求出S_n，利用列項法求出$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$得出結論．

解答 解：∵a_m+n=a_m+a_n，a₁=$\frac{2}{3}$．
∴a₂=2a₁=$\frac{4}{3}$，
a₃=a₂+a₁=3a₁=2，
…
∴a_n=na₁=$\frac{2n}{3}$．
∴{a_n}是以$\frac{2}{3}$為首項，以$\frac{2}{3}$為等差的等差數列．
∴S_n=$\frac{\frac{2}{3}+\frac{2n}{3}}{2}×n$=$\frac{{n}^{2}+n}{3}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{3}{{n}^{2}+n}$=3（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{i}}$=3（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=3（1-$\frac{1}{n+1}$）=3-$\frac{3}{n+1}$＜3．
∴T的最小正整數值為3．
故選C．

點評 本題考查了數列通項公式的求法，求和公式，列項法求和，屬于中檔題．