Question

設a，b是實數，函數f(x)=

1

2x+b

-a是R上的奇函數．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）試判斷f（x）在（-∞，+∞）上的單調性，并請你用函數的單調性給予證明；
（Ⅲ）不等式f（m-2）+f（2^x+1+4^x）＜0對任意x∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由奇函數性質得，f（0）=0，f（-1）=-f（1），由此得關于a，b的方程組，解出a，b即可，注意檢驗；
（Ⅱ）定義法：由（Ⅰ）知f（x）=

1

2x+1

-

1

2

，設x₁＜x₂，利用作差f（x₁）-f（x₂）可證f（x₁）＞f（x₂），由單調性定義可得結論；
（Ⅲ）利用函數f（x）的奇偶性、單調性可去掉不等式中的符合“f”，進而轉化為函數的最值問題即可解決；

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）為奇函數，
所以f（0）=0，f（-1）=-f（1），即

1

1+b

-a=0①，

1

2-1+b

-a=-（

1

2+b

-a）②，
聯立①②解得

a= 1 2 b=1

，經檢驗，符合題意，
所以實數a=

1

2

，b=1；
（Ⅱ）f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，證明如下：
由（Ⅰ）知f（x）=

1

2x+1

-

1

2

，
設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（

1

2x1+1

-

1

2

）-（

1

2x2+1

-

1

2

）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
因為x₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減；
（Ⅲ）因為f（x）為奇函數，所以f（m-2）+f（2^x+1+4^x）＜0可化為f（2^x+1+4^x）＜-f（m-2）=f（2-m），
又f（x）單調遞減，所以2^x+1+4^x＞2-m，
由題意，只需（2^x+1+4^x）_min＞2-m，
而2^x+1+4^x=（2^x+1）²-1＞0，
所以2-m≤0，即m≥2，
實數m的范圍為m≥2．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性及其應用，考查函數恒成立問題，考查轉化思想，考查學生解決問題的能力．