Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱長

2

，底面ABCD為菱形且AB=2，∠BAD=

π

3

，BD₁與側面ADD₁A₁所成角為

π

4

．

Answer 1

分析：先取AD中點E，連BE，D₁E，可以得到BE⊥AD，且BE=

3

，BD=2；根據條件得到BE⊥側面ADD₁A₁，進而得到∠BD₁E為所求，然后通過求邊長求出∠BD₁E的三角函數值即可求出結論．

解答：解：取AD中點E，連BE，D₁E，因為ABCD為菱形，且AB=2，∠BAD=

π

3

∴BE⊥AD，且BE=

3

，BD=2，
又因為其為直棱柱；
所以BE⊥側面ADD₁A₁，
∴D₁E為BD₁在側面ADD₁A₁上的投影，
∴∠BD₁E為所求，
BD₁=

BD 2+DD 1 2

=

6

∴cos∠BD₁E=

BE

BD 1

=

3

6

=

2

2

，
∴∠BD₁E=

π

4

．
即BD₁與側面ADD₁A₁所成角為：

π

4

．
故答案為；   

π

4

．

點評：本題主要考查直線和平面所成的角．解決本題的關鍵在于根據條件得到BE⊥側面ADD₁A₁，進而得到∠BD₁E為所求．