Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

，x∈R，a為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時，判斷f（x）的奇偶性；
（2）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）在（1）的條件下，若對任意t∈[1，2]有f（m2^t-2）+f（2^t）≥0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 證明：（1）a=1時，f(x)=

2x-1

2x+1

，f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

2x+1

=-f(x)…（3分）
f（x）是奇函數(shù)（可不證明）
（2）證明如下：對任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1+1

）-（a-

2

2x2+1

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
則函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（3）在（1）成立的條件下，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，
則不等式等價為f（m2^t-2）≥-f（2^t）=f（-2^t），
即m2^t-2≥-2^t，
即m≥

2-2t

2t

=

1

2t-1

-1，t∈[1，2]，
∴m≥0．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用以及不等式恒成立問題，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．