Question

2．設(shè)a，b∈R，給出下列判斷：
①若$\frac{1}-\frac{1}{a}=1$，則a-b≤1；
②若a³-b³=1，則a-b≤1；
③若a，b均為正數(shù)，且a²-b²=1，則a-b≤1；
④若a，b均為正數(shù)，且$\sqrt{a}-\sqrt=1$，則a-b≥1．
則所有正確判斷的序號是（　�。�

• A． ①②
• B． ③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①若$\frac{1}-\frac{1}{a}=1$，取a=2，b=$\frac{2}{3}$，即可判斷出正誤；
②若a³-b³=1，取a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{\root{3}{7}}{2}$，即可判斷出正誤；
③由a，b均為正數(shù)，且a²-b²=1，則a=$\sqrt{1+^{2}}$，可得a-b=$\sqrt{1+^{2}}-b$=$\frac{1}{\sqrt{1+^{2}}+b}$，即可判斷出正誤；
④由a，b均為正數(shù)，且$\sqrt{a}-\sqrt=1$，則$\sqrt{a}=1+\sqrt$，兩邊平方可得：a=1+2$\sqrt$+b，可得a-b=1+2$\sqrt$，即可判斷出正誤．

解答 解：①若$\frac{1}-\frac{1}{a}=1$，取a=2，b=$\frac{2}{3}$，則a-b=$\frac{4}{3}$＞1，因此①不一定正確；
②若a³-b³=1，取a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{\root{3}{7}}{2}$，則a-b=$\frac{1+\root{3}{7}}{2}$＞1，因此不一定正確；
③若a，b均為正數(shù)，且a²-b²=1，則a=$\sqrt{1+^{2}}$，∴a-b=$\sqrt{1+^{2}}-b$=$\frac{1}{\sqrt{1+^{2}}+b}$≤1，因此正確；
④若a，b均為正數(shù)，且$\sqrt{a}-\sqrt=1$，則$\sqrt{a}=1+\sqrt$，兩邊平方可得：a=1+2$\sqrt$+b，∴a-b=1+2$\sqrt$≥1，因此正確．
則所有正確判斷的序號是（　�。�

點評 本題考查了不等式的基本性質(zhì)、平方法、分子有理化、取特殊值法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．