Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x．
（Ⅰ）若角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（

3

5

，

4

5

），求f（α）的值；
（Ⅱ）若x∈[

π

6

，

π

3

]，求f（x）最小正周期和值域．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由條件可得sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，代入計(jì)算即可得到；
（Ⅱ）運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)，再由周期公式，即可得到周期；再由x的范圍，求得2x+

π

6

的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到值域．

解答： 解：（Ⅰ）由于角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（

3

5

，

4

5

），則sinα=

4

5

，cosα=

3

5

則f（α）=2

3

sinαcosα-2sin²α=2

3

×

4

5

×

3

5

-2×(

4

5

)²=

24 3 -32

25

；
（Ⅱ）f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x=

3

sin2x+cos2x-1=2sin（2x+

π

6

）-1
所以最小正周期是T=

2π

2

=π；
由于x∈[

π

6

，

π

3

]，即有-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
則有-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
故f（x）的值域?yàn)閇-2，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查三角函數(shù)的周期和最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．