Question

19．已知x、y滿足x³+2y³=x-y，x＞0，y＞0．則x、y使得x²+ky²≤1恒成立的k的最大值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2+$\sqrt{5}$
• C． 2+2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{7}$+1

Answer 1

分析 把x²+ky²≤1恒成立，轉化為x³+2y³≥（x-y）（x²+ky²）恒成立，展開后利用基本不等式得到2$\sqrt{k+2}$≥k，然后求解關于k的不等式得其最值．

解答 解：若x²+ky²≤1恒成立，
則x³+2y³≥（x-y）（x²+ky²）=x³+kxy²-yx²-ky³，
則（k+2）y³+yx²≥kxy²，
k+2＞0，∵（k+2）y³+yx²≥2$\sqrt{k+2}$xy²．
∴2$\sqrt{k+2}$≥k，∴4（k+2）≥k²，
解得：2-2$\sqrt{3}$≤k≤2+2$\sqrt{3}$．
∴實數(shù)k的最大值為2+2$\sqrt{3}$，
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學轉化思想方法，訓練了不等式的應用，是中檔題．