Question

設(shè){a_n}是首項(xiàng)是1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1an=0（n=1.2，3，…），則a_n=

1

n

．

Answer 1

分析：將(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1an=0分解因式：[(n+1)

a

n+1

-n

a

n

]

(a

n+1

+an)=0，由已知，(n+1)

a

n+1

-n

a

n

=0，即

an+1

an

=

n

n+1

，利用累積法求解即可．

解答：解：將(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1an=0分解因式：[(n+1)

a

n+1

-n

a

n

]

(a

n+1

+an)=0，
因?yàn)閧a_n}是首項(xiàng)是1的正項(xiàng)數(shù)列，
所以只能有：(n+1)

a

n+1

-n

a

n

=0，
即

an+1

an

=

n

n+1

所以

a2

a1

=

1

2

a3

a2

=

2

3

…

an

an-1

=

n-1

n

（n≥2）
以上各式相乘得出a_n=

1

n

（n≥2），且對(duì)n=1也成立．所以a_n=

1

n

故答案為：

1

n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，累積法．考查變形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．