Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為

x= 2 2 t y= 2 t+1

，（為參數(shù)），求直線與曲線C 相交所得的弦長．

Answer 1

分析：先將曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程化為普通方程，然后利用弦心距、弦長的一半及圓的半徑組成一個直角三角形，利用勾股定理即可求得．

解答：解：∵ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，∴x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4，
∴圓心為（0，2），半徑r=2．
∵直線的參數(shù)方程為

x= 2 2 t y= 2 t+1

，（為參數(shù)），消去參數(shù)t，化為普通方程y=2x+1．
由點到直線的距離公式求得圓心（0，2）到直線y=2x+1的距離為

|0-2+1|

22+12

=

5

5

．
∴直線與曲線C 相交所得的弦長=2

22-( 5 5 )2

=

2 95

5

．

點評：本題考查了把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程，并求直線與圓相交所得弦長，充分利用弦心距、弦長的一半及圓的半徑組成一個直角三角形是解題的關(guān)鍵．另外也可將直線方程與圓的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)得到關(guān)于另一個未知數(shù)的方程，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得．