Question

11．已知函數f（x）=|x+1|+|mx-1|．
（1）若m=1，求f（x）的最小值，并指出此時x的取值范圍；
（2）若f（x）≥2x，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據絕對值的意義求出x的范圍即可；
（2）問題轉化為|mx-1|≥x-1，結合函數的性質得到關于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，
當且僅當（x+1）（x-1）≤0時取等號．
故f（x）的最小值為2，此時x的取值范圍是[-1，1]．…（5分）
（2）x≤0時，f（x）≥2x顯然成立，所以此時m∈R；
x＞0時，由f（x）=x+1+|mx-1|≥2x得|mx-1|≥x-1，
由y=|mx-1|及y=x-1的性質可得|m|≥1且$\frac{1}{m}$≤1，
解得m≥1，或m≤-1．
綜上所述，m的取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞）．…（10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．