Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁及公差d都為整數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）若a₁₁=0，S₁₄=98，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若a₁≥6，a₁₁＞0，S₁₄≤77，求所有可能的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是關(guān)于等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算，設(shè)出題目中的首項(xiàng)和公差，根據(jù)第十一項(xiàng)和前十四項(xiàng)的和兩個(gè)數(shù)據(jù)列出方程組，解出首項(xiàng)和公差的值，寫出數(shù)列的通項(xiàng)．
（Ⅱ）根據(jù)三個(gè)不等關(guān)系，寫出關(guān)于首項(xiàng)和公差的不等式組，解不等式組，得到一個(gè)范圍，根據(jù){a_n}的首項(xiàng)a₁及公差d都為整數(shù)得到所有可能的結(jié)果，寫出通項(xiàng)公式．

解答：解：（Ⅰ）由S₁₄=98得2a₁+13d=14，
又a₁₁=a₁+10d=0，
∴解得d=-2，a₁=20．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=22-2n，
（Ⅱ）由

S14≤77 a11?0 a1≥6

得

2a1+13d≤11 a1+10d?0 a1≥6

即

2a1+13d≤11 -2a1-20d?0 -2a1≤-12

由①+②得-7d＜11．
即d＞-

11

7

．
由①+③得13d≤-1
即d≤-

1

13

于是-

11

7

＜d≤-

1

13

又d∈Z，故
d=-1  ④
將④代入①②得10＜a₁≤12．
又a₁∈Z，故a₁=11或a₁=12．
∴所有可能的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是
a_n=12-n和a_n=13-n，

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的基本量，是一個(gè)綜合問題，題目中結(jié)合不等式和方程的解法，根據(jù)題目所給的關(guān)系，寫出關(guān)于數(shù)列的首項(xiàng)和公差的方程組，解方程組得到公差和首相，再寫出通項(xiàng)公式．