Question

16．已知在等腰△AOB中，若|OA|=|OB|=5，且$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|≥\frac{1}{2}|{\overrightarrow{AB}}|$，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是（　　）

• A． [-15，25）
• B． [-15，15]
• C． [0，25）
• D． [0，15]

Answer 1

分析 根據(jù)$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|≥\frac{1}{2}|{\overrightarrow{AB}}|$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$|，兩邊平方求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≥-15；
利用平面向量數(shù)量積的定義求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜25，從而得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

解答 解：在等腰△AOB中，|OA|=|OB|=5，
$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|≥\frac{1}{2}|{\overrightarrow{AB}}|$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$|，
∴${（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）}^{2}$≥$\frac{1}{4}$${（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）}^{2}$，
即${\overrightarrow{OA}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+${\overrightarrow{OB}}^{2}$≥$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{OB}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{OA}}^{2}$，
∴25+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+25≥$\frac{25}{4}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{25}{4}$，
解得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≥-15；
又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=5×5×cos∠AOB＜25，
∴-15≤$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜25；
即$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍是[-15，25）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，是綜合題．