Question

已知橢圓C：的離心率，兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，B₁，B₂為橢圓C短軸的兩端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上．且△MF₁F₂的周長為18．
（I）求橢圓C的方程；
（II）當(dāng)M與B₁，B₂不重合時(shí)，直線B₁M，B₂M分別交x軸于點(diǎn)K，H．求的值；
（III）過點(diǎn)M的切線分別交x軸、y軸于點(diǎn)P、Q．當(dāng)點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求|PQ|的最小值；并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，得①，由△MF₁F₂的周長為18，得a+c=9②．聯(lián)立①②解得a，c，根據(jù)b²=a²-c²可求得b；
（II）由（I）易求B₁，B₂坐標(biāo)，設(shè)M（x，y）（x≠0），由點(diǎn)斜式可得直線B₁M的方程、直線B₂M的方程，由直線方程可得點(diǎn)K、H坐標(biāo)，通過計(jì)算可得的值；
（III）設(shè)切線方程為：y=kx+m（k≠0），代入橢圓方程得，（25k²+9）x²+50kmx+25m²-225=0（*），則△=0，點(diǎn)P（-，0），Q（0，m），由兩點(diǎn)間距離公式可得|PQ|²，利用基本不等式求其最小值，由等號(hào)成立條件可求得k值，進(jìn)而得m值，再代入（*）式可得點(diǎn)M橫坐標(biāo)，進(jìn)而得縱坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可得其它象限的坐標(biāo)；
解答：解：（I）由，得①，
由△MF₁F₂的周長為18，得2a+2c=18，即a+c=9②．
聯(lián)立①②解得a=5，c=4，所以b²=a²-c²=9，
所以橢圓C的方程為：；
（II）由（I）可得B₁（0，-3），B₂（0，3），
設(shè)M（x，y）（x≠0），則直線B₁M的方程為：y=x-3，直線B₂M的方程為：y=x+3，
令y=0，得，，則，，
所以==，
又，所以，代入上式，得==25；
（III）設(shè)切線方程為：y=kx+m（k≠0），代入橢圓方程得，（25k²+9）x²+50kmx+25m²-225=0（*），
則△=（50km）²-4（25k²+9）（25m²-225）=0，即m²=25k²+9①，
點(diǎn)P（-，0），Q（0，m），
則|PQ|²====+34=64，
當(dāng)且僅當(dāng)，即k=時(shí)取等號(hào)，
所以|PQ|的最小值為8，
此時(shí)m²=25k²+9=24，所以m=，
當(dāng)m=2，k=時(shí)，代入（*）式并化簡(jiǎn)得，
解得x=-，y=×（-）+2=，
此時(shí)點(diǎn)M（-，），
由橢圓的對(duì)稱性可得當(dāng)點(diǎn)M在第一、三、四象限時(shí)坐標(biāo)分別為：（，），（-，-），（，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、基本不等式求最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力．