Question

設(shè)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為A，P是雙曲線(xiàn)上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從A引雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)與直線(xiàn)OP分別交于Q和R兩點(diǎn)．（如圖）
（1）證明：無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在什么位置，總有；
（2）若以O(shè)P為邊長(zhǎng)的正方形面積等于雙曲線(xiàn)實(shí)、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出、的坐標(biāo)，計(jì)算的值，把雙曲線(xiàn)方程與OP方程聯(lián)立解得 ，比較可得．
（2）由條件得：，根據(jù)k²＞0，得到b＞，計(jì)算e= 的范圍．
解答：解：（1）設(shè)OP的方程為 y=kx，AR的方程為 y=，
解得 =，同理可得 ．
∴=．
設(shè)，則由雙曲線(xiàn)方程與OP方程聯(lián)立解得：
∴ 
∵點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，∴b²-a²k²＞0，無(wú)論點(diǎn)P在什么位置，總有  ．
（2）由條件得：，即  ，
∴4b＞a，∴e==＞=，即 e＞．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，式子的變形、化簡(jiǎn)是解題的難點(diǎn)．