Question

動圓C與定圓C₁：（x+3）²+y²=32內切，與定圓C₂：（x-3）²+y²=8外切，A點坐標為（0，

9

2

）．
（1）求動圓C的圓心C的軌跡方程和離心率；
（2）若軌跡C上的兩點P，Q滿足

AP

=5

AQ

，求|PQ|的值．

Answer 1

考點：軌跡方程,向量的模,橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據(jù)兩圓的位置關系，算出點C到C₁、C₂的距離之和等于6

2

，再由橢圓的定義可得C點的軌跡是以C₁，C₂為焦點的橢圓，結合題中數(shù)據(jù)即可得到所求軌跡方程；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)

AP

=5

AQ

，解出x₁=5x₂且y₁=5y₂-18，根據(jù)PQ都在橢圓C上，聯(lián)解得出y₂=3，代入前面式子可得y₁=-3，且x₁=x₂=0，由此得出P、Q的坐標，從而得到|PQ|的值．

解答： 解：（1）如圖，設動圓C的半徑為R，
則|CC₁|=4

2

-R，…①，|CC₂|=2

2

+R，…②
①+②得，|CC₁|+|CC₂|=6

2

＞6=|C₁C₂|，
由橢圓的定義，C點的軌跡是以C₁，C₂為焦點，長軸長為6

2

的橢圓，
可得軌跡方程為

x2

18

+

y2

9

=1，離心率為

2

2

．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
∵

AP

=5

AQ

，
∴（x₁，y₁-

9

2

）=5（x₂，y₂-

9

2

），
可得x₁=5x₂，y₁=5y₂-18，…③
由P，Q是橢圓C上的兩點，解出y₂=3
將y₂=3代入③，得y₁=-3，再將y₂=3代入④，得x₂=0，所以x₁=0，
∴P（0，-3），Q（0，3），可得|PQ|=6．

點評：本題給出動圓與兩個定圓都相切，求圓心的軌跡方程并求滿足向量等式的P、Q的坐標．著重考查了圓與圓的位置關系、向量的坐標運算和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．