Question

(本題滿分13分)已知y= F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0),
函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖所示，且函數(shù)y=F(x)的圖象經(jīng)過（1，2）和（－1，2）兩點(diǎn)，又過點(diǎn)（1，0）作斜率之積為－10的兩條直線l₁和l₂，l₁和l₂與函數(shù)的圖象分別相交于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。
（1）求函數(shù)y=f(x)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；
（2）若線段AB和CD的中點(diǎn)分別為M，N，求三角OMN面積的取值范圍。

Answer 1

（1）（1，1）    （2）≥

（1）由圖像可設(shè)y=f(x)=ax(x-1)(x-2)+1
=ax³-3ax²+2ax+1
∵(xⁿ)′=nx^n-1(n∈Z),∴F(x)為四次函數(shù)，可設(shè)F(x)=,      2分
又F（1）＝2，F（－1）＝2，    ∴           
∴f(x)=x³-3x²+2x+1=(x-1)³-x+2
設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（m,n）對(duì)稱，則對(duì)任意的x都有f(x)+f(2m-x)=2n,
∴（x-1）3+(2m-x-1)3-2m+4=2n
令x=1與x=m有　　　　6(m-1)³="0   "    m=1
∴n=f(m)=f(1)="1 " ∴對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（1，1）.                        6分
另解：f′(x)=3x²-5x+2，設(shè)x₁,x₂為f′(x)=0的兩根，
可知對(duì)稱中心的橫坐標(biāo) ∴,
∴縱坐標(biāo)為f(1)="1       " ∴對(duì)稱中心為（1，1）                6分
（2）由（1）可知,
分別設(shè)A（x_1，y₁）,B(x_2，y₂)，C(x_3，y₃)，D(x₄,y₄)，M(x₅,y₅)，N(x₆,y₆).
由題可設(shè)l₁的方程為y=k(x-1)，代入y=x²得x²=kx+l=0,
∴＞0　　k＞4或k＜0　　　　�、�
l₂的方程為，同理有kx²+10x-10="0        " 8分
＞                                 ②
由①，②有＜k＜0或k＞4   由上可知，
同理　　，   ∵＜0,∴M,N兩點(diǎn)在y軸的兩側(cè).
若M點(diǎn)在y軸左側(cè)（如下圖所示），則S_ΔOMN＝S_梯形MPQN－S_ΔOQN－S_ΔOMP
＝＝，
同理當(dāng)M點(diǎn)在y軸的右側(cè)時(shí)，
∴，     11分
令,由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在＜k＜0或k＞4時(shí)，
t＜或t≥  ∴|t|≥    ∴≥       13分