Question

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，且PD=AD，E是PA的中點．
（1）證明：PC∥平面EBC
（2）證明：平面PBC⊥平面PCD
（3）求BE與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）連結AC交BD于O，連接EO，利用三角形中位線的性質，證明線線平行，可得線面平行；
（2）利用線面垂直的判定，證明BC⊥平面PCD，再利用面面垂直的判定定理，即可證明；
（3）取AD中點F，證明∠EBF是直線BE與平面ABCD所成角，即可求其正切值．

解答：（1）證明：連結AC交BD于O，連接EO，
∵E、O分別為PA、AC的中點，∴EO∥PC．
∵PC?平面EBD，EO?平面EBD
∴PC∥平面EBD…（4分）
（2）證明：在正方形ABCD中，BC⊥CD，
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC
又DC∩PD=D，DC，PD?面PCD，
∴BC⊥平面PCD，BC?平面PBC
∴平面PBC⊥平面PCD．…（8分）
（3）解：取AD中點F，
∵E是PA的中點，∴EF∥PD
∵PD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD
∴∠EBF是直線BE與平面ABCD所成角．
設PD=2，則
∵EF=

1

2

PD，PD=AD，∴EF=1，BF=

5

，
∴tan∠EBF=

EF

BF

=

1

5

=

5

5

，即BE與平面ABCD所成角的正切值為

5

5

．…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查面面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，掌握線面平行，面面垂直的判定方法是關鍵．