Question

已知定義域為R的函數f(x)=

-2x+a

2x+1+b

是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）判斷f（x）的單調性；
（3）若對任意的x∈R，不等式f（mx²+x-3）+f（x²-mx+3m）＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數是奇函數，建立方程關系解a，b．（2）利用定義法證明函數的單調性．
（3）利用函數的奇偶性將不等式轉化為f（mx²+x-3）＞-f（x²-mx+3m）=f（-x²+mx-3m），然后利用單調性解不等式．

解答：解：（1）∵f(x)=

-2x+a

2x+1+b

是R上的奇函數，f（0）=0，
即

a-1

b+2

=0，解得a=1．
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+b

，
又f（-1）=-f（1），
∴

1-2

b+4

=-

1- 1 2

b+1

，∴b=2，經檢驗符合題意．
∴a=1，b=2．
（2）由（1）可知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
設x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵y=2^x在R單調遞增，∴2x2＞2x1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．
（3）∵f（x）在（-∞，+∞）上為減函數，且為奇函數，
∴原不等式等價為f（mx²+x-3）＞-f（x²-mx+3m）=f（-x²+mx-3m），
∴（m+1）x²+（1-m）x+3（m-1）＜0
①m=-1時，不等式2x-6＜0，即x＜3，不符合題意．
②m≠-1時，要使不等式恒成立，則

m+1＜0 △＜0

，解得m＜-

13

11

．
綜上，m＜-

13

11

．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，利用定義法證明函數的單調性，以及函數單調性和奇偶性的綜合應用，利用函數的奇偶性將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．