Question

f（x）是定義在[-2π，2π]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f（x）=2cosx，當(dāng)x∈（π，2π]時(shí)，f（x）=

4

π

x-2．
（1）求f（-2π），f（-

π

6

）的值；
（2）寫出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，作出圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得：f（-2π）=f（2π），f（-

π

6

）=f（

π

6

）進(jìn)而結(jié)合題中的條件可得答案．
（2）設(shè)x∈[-2π，-π），則-x∈（π，2π]，由題得：由條件利用函數(shù)為偶函數(shù)求得函數(shù)的解析式；同理可得：當(dāng)x∈[-π，0]時(shí)，f（x）的解析式，即可得到答案．

解答： 解：（1）由于f（x）是定義在[-2π，2π]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f（x）=2cosx，當(dāng)x∈（π，2π]時(shí)，f（x）=

4

π

x-2．
又因?yàn)閥=f（x）是偶函數(shù)
所以f（-2π）=f（2π）=

4

π

•2π-2=6，f（-

π

6

）=f（

π

6

）=2cos

π

6

=

3

．
（2）設(shè)x∈[-2π，-π），則-x∈（π，2π]，
因?yàn)楫?dāng)x∈（π，2π]時(shí)，f（x）=

4

π

x-2，所以y=f（-x）=-

4

π

x-2．
又因?yàn)閒（x）是定義在[-2π，2π]上的偶函數(shù)，
所以當(dāng)x∈[-2π，-π）時(shí)，f（x）=-

4

π

x-2；
同理可得：當(dāng)x∈[-π，0]時(shí)，f（x）=2cosx，
所以f（x）=

- 4 π x-2，x∈[-2π，-π) 2cosx，x∈[-π，π] π 4 x-2，x∈(π，2π]

其圖象在[-2π，2π]上的圖象如圖所示，
故函數(shù)的遞增區(qū)間為[-π，0]，（π，2π]；遞減區(qū)間為[-2π，-π），[0，π]．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)值、圖象等性質(zhì)，以及函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用與直線的點(diǎn)斜式方程，此題綜合性較強(qiáng)屬于中檔題．