Question

【題目】如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求證：MN∥平面BDE；

(2)求二面角CEMN的正弦值；

(3)已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接利用向量法證明即可.(2)第（2）問，直接利用向量法求解. (3)第（3）問，直接利用向量法求出直線NH與直線BE所成角的余弦值，解方程即可.

試題解析：

（1）如圖，以A為原點，分別以方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，依題意可得A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0，1)，N(1,2,0)．

(1)證明： ＝(0,2,0)， ＝(2,0，－2)．

設(shè)n＝(x，y，z)為平面BDE的法向量，

則

即

不妨設(shè)z＝1，可得＝(1,0,1)．

又＝(1,2，－1)，可得＝0.

因為MN平面BDE，所以MN∥平面BDE.

(2)易知＝(1,0,0)為平面CEM的一個法向量．設(shè)＝(x1，y1，z1)為平面EMN的一個法向

量，則

因為＝(0，－2，－1)， ＝(1,2，－1)，

所以

不妨設(shè)y1＝1，可得＝(－4,1，－2)．

因此有cos〈， 〉＝，

于是sin〈， 〉＝

所以二面角CEMN的正弦值為.

(3)依題意，設(shè)AH＝h(0≤h≤4)，則H(0,0，h)，進而可得＝(－1，－2，h)， ＝(－2,2,2)．

由已知，得

|cos〈， 〉|＝

整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝，或h＝.

所以，線段AH的長為或.