Question

在平面直角坐標系xOy中，動點P到兩點（-

3

，0），（

3

，0）的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為曲線C，直線l過點E（-1，0）且與曲線C交于A，B兩點．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若AB中點橫坐標為-

1

2

，求直線AB的方程；
（3）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（-

3

，0），（

3

，0）為焦點，長半軸長為2的橢圓，從而可得曲線C的方程；
（2）利用點差法，求出直線的斜率，即可得到直線的方程；
（3）直線方程代入橢圓方程，求出A，B的縱坐標，利用S_△AOB=

1

2

|OE||y2-y1|，可得面積，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（-

3

，0），（

3

，0）為焦點，長半軸長為2的橢圓．
故曲線C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點橫坐標為y，則

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1
兩方程相減可得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+(y1+y2)(y1-y2)=0
∵直線l過點E（-1，0）且與曲線C交于A，B兩點，AB中點橫坐標為-

1

2

，
∴

-(x1-x2)

4

+2y(y1-y2)=0
∴

-1

4

+2y•

y

- 1 2 +1

=0
∴y=±

1

4

∴直線AB的斜率為k=±

1

2

∴直線AB的方程為y=±

1

2

（x+1）；
（3）存在△AOB面積的最大值．
因為直線l過點E（-1，0），可設(shè)直線l的方程為x=my-1．
代入橢圓方程整理得（m²+4）y²-2my-3=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得y₁=

m+2 m2+3

m2+4

，y2=

m-2 m2+3

m2+4

．
則|y₂-y₁|=

4 m2+3

m2+4

．
∴S_△AOB=

1

2

|OE||y2-y1|=

2 m2+3

m2+4

設(shè)t=

m2+3

（t≥

3

），則g（t）=

2

t+ 1 t

∵y=t+

1

t

在區(qū)間[

3

，+∞）上為增函數(shù)．
∴t+

1

t

≥

4 3

3

．
∴S△AOB≤

3

2

，當且僅當m=0時取等號，
∴S_△AOB的最大值為

3

2

．

點評：本題考查直線與橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學生計算能力，屬于中檔題．