Question

如圖是某直三棱柱被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖和俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示：
（1）求出該幾何體的體積；
（2）求證：EM∥平面ABC．

Answer 1

分析：（1）由側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，得四棱錐的高為2，求出底面梯形的面積，代入體積公式計(jì)算；
（2）取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OE，證明四邊形AOME為平行四邊形，可得EM∥AO，再由線面平行的判定定理證明EM∥平面ABC．

解答：解：（1）側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，
根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，四棱錐的高為2，
∴幾何體的體積V=

1

3

×

2+4

2

×2×2=4；
（2）連接EM，取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OE，
∵O、M分別是BC，BD的中點(diǎn)，∴OM∥CD，OM=

1

2

CD，
由側(cè)視圖知AE=

1

2

CD，AE∥CD，∴OM∥AE，OM=AE，
∴四邊形AOME為平行四邊形，∴EM∥AO，AO?平面ABC，EM?平面ABC，
∴EM∥平面ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)求幾何體的體積，考查了線面平行的證明，解題的關(guān)鍵是判斷三視圖的數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量．