Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x），其中a＞0且a≠1，設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x）
（1）求函數(shù)h（x）的定義域，判斷h（x）的奇偶性并說明理由
（2）解不等式h（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x），其中a＞0且a≠1，

∴h（x）=f（x）﹣g（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）

解 得，﹣1＜x＜1

∴h（x）的定義域?yàn)椋ī?，1）；

∵h(yuǎn)（﹣x）=loga（1﹣x）﹣loga（1+x）=﹣h（x）

∴h（x）為奇函數(shù)；

（2）解：由h（x）＞0得，loga（1+x）＞loga（1﹣x）；

①若a＞1，則：

解得：0＜x＜1

②若0＜a＜1，則：

解得：∴﹣1＜x＜0

∴a＞1時(shí)，使h（x）＞0的x的取值范圍為（0，1），0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍為（﹣1，0）．

【解析】（1）由已知可得h（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x），進(jìn)而可求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性；（2）由h（x）＞0得，loga（1+x）＞loga（1﹣x）；對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論，可得不同情況下不等式的解集．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握過定點(diǎn)（1，0），即x=1時(shí)，y=0;a>1時(shí)在（0，+∞）上是增函數(shù);0>a>1時(shí)在（0，+∞）上是減函數(shù)才能正確解答此題．