Question

【題目】已知邊長為的正方形與菱形所在平面互相垂直， 為中點．

（1）求證： 平面；

（2）若,求四面體的體積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）∵四邊形是正方形，證得∥平面, ∥平面,即可利用面面平行的判定定理，證得平面，進而得到平面；

（2）取中點，連結(jié)，證的平面，得到為四面體的高，然后利用等體積法求解即可．

試題解析：

（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC∥AD．∵BC平面ADF，AD平面ADF，

∴BC∥平面ADF．∵四邊形ABEF是菱形，

∴BE∥AF．

∵BE平面ADF，AF平面ADF，

∴BE∥平面ADF．∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE=B，

∴平面BCE∥平面ADF．

∵EM平面BCE，∴EM∥平面ADF．

（2）取AB中點P，連結(jié)PE．∵在菱形ABEF中，∠ABE=60°，

∴△AEB為正三角形，∴EP⊥AB．∵AB=2，∴EP=．

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴EP⊥平面ABCD， ∴EP為四面體E﹣ACM的高．

∴.