Question

若實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線(xiàn)ax+by+c=0上的射影為M，點(diǎn)N（3，3），則|MN|的最大值是（　�。�

• A、5+

  2

• B、5-

  2

• C、5+2

  2

• D、5-2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a，b，c成等差數(shù)列得到a-2b+c=0，說(shuō)明動(dòng)直線(xiàn)ax+by+c=0恒過(guò)定點(diǎn)Q（1，-2），再由點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線(xiàn)ax+by+c=0上的射影為M，可知M在以PQ為直徑的圓上，求出圓的圓心坐標(biāo)和圓的半徑，再由兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心到N點(diǎn)的距離，則|MN|的最大值為圓心到N點(diǎn)的距離加半徑．

解答：解：∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得方程ax+by+c=0恒過(guò)Q（1，-2），

又點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線(xiàn)ax+by+c=0上的射影為M，
∴∠PMQ=90°，
∴M在以PQ為直徑的圓上，
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得圓的圓心C坐標(biāo)為（0，-1），
半徑r=

1

2

|PQ|=

1

2

(1+1)2+(-2-0)2

=

2

，
又N（3，3），
∴|CN|=

(3-0)2+(3+1)2

=5，
則|MN|的最大值是5+

2

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了直線(xiàn)系方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．