Question

已知集合M={x|2x2+x≤(

1

4

)x-2，x∈R}，求函數(shù)f（x）=a²-1+ax+x²，x∈M的最小值．

Answer 1

分析：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得M=[-4，1]，將f（x）=a²-1+ax+x²配方為f（x）=(x+

a

2

)2+

3

4

a²-1之后，根據(jù)其對稱軸x=-

a

2

與區(qū)間[-4，1]之間的關(guān)系，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得相應(yīng)情況下的最小值．

解答：解：∵2x2+x≤2^4-2x，
∴x²+x≤4-2x，
∴-4≤x≤1，
即M=[-4，1]---------（2分）
∵f（x）=a²-1+ax+x²=(x+

a

2

)2+

3

4

a²-1，
①當(dāng)-4≤-

a

2

≤1時(shí)，y_min=

3

4

a²-1；------------（2分）
②當(dāng)-

a

2

＞1時(shí)，y_min=f（1）=a²+a；------------（2分）
③-

a

2

＜-4時(shí)，y_min=f（-4）=a²-4a+15．------------（2分）
∴y_min=

a2+a，(a＜-2) 3 4 a2-1，(-2≤a≤8) a2-4a+15，(a＞8)

．

點(diǎn)評：本題考查指、對數(shù)不等式的解法，著重考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．