Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為直線的傾斜角）．
（I）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求角α的正切值的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為直線的傾斜角）．對(duì)傾斜角α分類討論，消去參數(shù)t即可得出普通方程．
（II）利用點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為直線的傾斜角）．
當(dāng)$α=\frac{π}{2}$時(shí)，直線l的普通方程為x=-1；
當(dāng)$α≠\frac{π}{2}$時(shí)，直線l的普通方程為y=（x+1）tanα．
x²+y²=2x，即為曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ） 當(dāng)直線l的普通方程為x=-1，不符合．
∴直線l的普通方程為y=（x+1）tanα．
由于直線與曲線C有公共點(diǎn)，可得：$\frac{|2tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$≤1，
解得  $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤tana≤\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．