【答案】
分析:(1)根據(jù)圖1,發(fā)現(xiàn)當0≤t≤10時,函數(shù)S(t)=10,而當10<t≤40時和當40<t≤60時,函數(shù)S(t)的表達式都是一次函數(shù),可以先設出它們的一次解析式,利用圖象上的已知點求出一次項系數(shù)和常數(shù)項,可以得到函數(shù)S(t)的函數(shù)關系式.對于M(t),根據(jù)它的圖象是開口向下的拋物線,經(jīng)過原點且關于直線t=40對稱,結合頂點坐標,不難用待定系數(shù)的方法求出M(t)關于t的函數(shù)關系式;
(2)根據(jù)(1)的函數(shù)S(t)的分段函數(shù)關系式,分①當0≤t≤10時,②當10<t≤40時,③當40<t≤60時,分別得到P(t)關于t的函數(shù)關系式,利用導數(shù)工具討論各段上的單調性,從而得出函數(shù)P(t)在各段上的最大值,再將各個最大值進行比較,從而得出當t=47時,水果市場的銷售額最大.
解答:解:(1)①由圖1可知,當0≤t≤10時,S(t)=10
②當10<t≤40時,設S(t)=a
1t+b
1,因為函數(shù)S(t)的圖象過點B(10,10),C(40,5)
所以
,解之得
∴當10<t≤40時,S(t)=
t+
③當40<t≤60時,設S(t)=a
2t+b
2,因為函數(shù)S(t)的圖象過點C(40,5),C(60,6),
所以用類似②的方法可得
,此時S(t)=
t+3,
綜上所述,S(t)=
由圖2可知,函數(shù)M(t)在x=40時取得最大值,故設M(t)=a(t-40)
2+10
又函數(shù)M(t)的圖象過點O(0,0),所以a(-40)
2+10=0,解之得a=-
所以M(t)=-
(t-40)
2+10=-
t
2+
t,0≤t≤160,t∈N
(2)在這60天內,設該水果市場的銷售額與天天數(shù)的函數(shù)關系為P(t),則
①當0≤t≤10,t∈N時,P(t)=1000S(t)M(t)=10000(-
t
2+
t)
可得:當t=10時,P(t)
max=P(10)=43750.
②當10<t≤40,t∈N時,P(t)=1000S(t)M(t)=1000(-
t+
)(-
t
2+
t)=
(t
3-150t
2+5600t)
∵(t
3-150t
2+5600t)′=3t
2-300t+5600=3(t-50)
2-1900>0在區(qū)間(10,24]上成立,
且(t
3-150t
2+5600t)′=3t
2-300t+5600=3(t-50)
2-1900<0在區(qū)間[25,40]上成立
∴P(t)在區(qū)間(10,24]上是單調增函數(shù),在區(qū)間[25,40]上是單調減函數(shù)
當10<t≤40,t∈N時,P(t)
max應該是P(24)和P(25)中的較大者
而P(24)=64400,P(25)≈64453.13,因此P(t)
max=P(25)
③當40<t≤60,t∈N時,P(t)=1000S(t)M(t)=1000(
t+3)(-
t
2+
t)=
(-t
3+20t
2+4800t)
用類似②的方法,可得P(t)在區(qū)間(40,47]上是單調增函數(shù),在區(qū)間[48,60]上是單調減函數(shù).
而P(47)≈51861.56>P(48)=51840,所以此時P(t)
max=P(47)
綜上所述,P(t)的最大值為P(47)≈51861.56
所以在這60天內,該水果市場第47天的銷售額最大.
點評:本題以一個實際問題為例,考查了分段函數(shù)的單調性與最值的知識點,計算量很大,是一道難題.在解題過程中用到了分類討論與轉化化歸的思想,綜合了函數(shù)多種性質加以解決.