Question

已知f(x)=loga

1+x

1-x

(其中a＞0且a≠1)，定義域為（-1，1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）函數(shù)f（x）的零點是否存在？若存在，試求出其零點；若不存在，請說明理由．
（3）討論f（x）函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；
（2）函數(shù)f（x）是否有零點，也即判斷f（x）=0在定義域內(nèi)是否有解；
（3）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，通過作差判斷f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，然后按單調(diào)性的定義即可判斷，其中要分a＞1，0＜a＜1兩種情況進(jìn)行討論；

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），它關(guān)于原點對稱，
又f（-x）=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-loga

1+x

1-x

=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）令f（x）=loga

1+x

1-x

=0⇒

1+x

1-x

=1⇒1+x=1-x⇒x=0，
又0∈（-1，1），
故f（x）有零點0；
（3）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=loga

1+x1

1-x1

-loga

1+x2

1-x2

=loga(

1-x2

1-x1

•

1+x1

1+x2

)，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴0＜1-x₂＜1-x₁＜2，0＜1+x₁＜1+x₂＜2，
∴0＜

1-x2

1-x1

＜1，0＜

1+x1

1+x2

＜1，
∴0＜

1-x2

1-x1

•

1+x1

1+x2

＜1，
當(dāng)0＜a＜1時，f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數(shù)f（x）是在定義域上減函數(shù)．                    
當(dāng)a＞1時，f（x₁）-f（x₂）＜0，函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)．

點評：本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及函數(shù)奇偶性的判斷，考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查學(xué)生的運算變形能力，考查分類討論思想．