Question

位于函數(shù)的圖象上的一系列點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…這一系列點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列x_n．
（1）求點(diǎn)P_n的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線C₁，C₂，C₃，…C_n，…中的第一條的對(duì)稱(chēng)軸都垂直于x軸，對(duì)于n∈N*第n條拋物線C_n的頂點(diǎn)為P_n，拋物線C_n過(guò)點(diǎn)D_n（0，n²+1），且在該點(diǎn)處的切線的斜率為k_n，求證．

Answer 1

【答案】分析：（1）位于函數(shù)的圖象上的一系列點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…這一系列點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列x_n
（2）欲證，關(guān)鍵是求得．先設(shè)出C_n的方程，把D點(diǎn)代入求得a，進(jìn)而對(duì)函數(shù)進(jìn)行求得求得切線的斜率，即k_n的表達(dá)式，進(jìn)而用裂項(xiàng)法求得 ．
解答：解：（1）由于P_n的橫坐標(biāo)構(gòu)成以 為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列{x_n}，
故 ．
又P_n（x_n，y_n）位于函數(shù) 的圖象上，
所以y ．
所求點(diǎn)P_n（x_n，y_n）的坐標(biāo)為（ ．
（2）∵C_n的對(duì)稱(chēng)軸垂直于x軸，且頂點(diǎn)為P_n，
∴設(shè)C_n的方程為 ．
把D_n（0，n²+1）代入上式，得a=1，
∴C_n的方程為y=x²+（2n+3）x+n²+1．
∵k_n=y'|_x=0=2n+3，
∴，
∴=
=．
故得：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，及直線的方程，由由P_n的橫坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列{x_n}，我們不難根據(jù)已知求出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式，代入直線方程，求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．本題還考查了數(shù)列求和問(wèn)題．考查了用裂項(xiàng)法求和的方法運(yùn)用和對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．