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設函數f(x)=
x2
2
-ax+
a2-1
2
，a∈R．
（Ⅰ）若?x∈[
2
，2]，關于x的不等式f(x)≥
a2-4
2
恒成立，試求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數f（x）在區(qū)間[0，4]上恰有一個零點，試求a的取值范圍．
分析：（1）用參數分離法，轉化為求最值問題即可解題
（2）討論對稱軸與區(qū)間中點的位置關系，根據根的分布情況，列出不等式組，解不等式組即可
解答：解：（1）依題得：?x∈[
2
，2]，不等式x2+3≥2ax恒成立，則a≤
x
2
+
3
2x

設g(x)=
x
2
+
3
2x
，則a≤g（x）min即可
又g(x)=
x
2
+
3
2x
≥2
x
2
•
3
2x
=
3
，當且僅當x=
3
時，g(x)min=g(
3
)=
3
．
∴a的取值范圍是(-∞，
3
]
（2）二次函數f（x）的圖象開口向上，對稱軸是直線x=a
依題意得：
①當a=2時，令f（x）=0，得x=1，x=3
∴在[
2
，2]上f（x）有兩個零點，不合題意
②當a＜2時，要使函數f（x）在區(qū)間[0，4]上恰有一個零點，只需滿足
f(0)＜0
f(4)≥0
即
a2-1＜0
a2-8a+15≥0

解得-1＜a＜1
當a=-1時滿足題意，a=1時不滿足題意，則-1≤a＜1
③當a＞2時，要使函數f（x）在區(qū)間[0，4]上恰有一個零點，只需滿足
f(0)≥0
f(4)＜0
即
a2-1≥0
a2-8a+15＜0

解得3＜a＜5
當a=5時滿足題意，a=3時不滿足題意，則3＜a≤5
∴a的取值范圍是[-1，1）∪（3，5]
點評：本題考查函數恒成立問題和函數的零點問題．恒成立問題常用參數分離法，零點問題常用數形結合思想，注意分類討論．屬中檔題
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

當p1，p2，…，pn均為正數時，稱
n
p1+p2+…+pn
為p1，p2，…，pn的“均倒數”．已知數列{an}的各項均為正數，且其前n項的“均倒數”為
1
2n+1
．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設cn=
an
2n+1
（n∈N*），試比較cn+1與cn的大小；
（3）設函數f(x)=-x2+4x-
an
2n+1
，是否存在最大的實數λ，使當x≤λ時，對于一切正整數n，都有f（x）≤0恒成立？

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=
x2+bx+c，(x＜0)
-x+3，(x≥0)
，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函數f（x）的解析式； 
（2）畫出函數f（x）的圖象，并指出函數f（x）的單調區(qū)間．
（3）若方程f（x）=k有兩個不等的實數根，求k的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC中，角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設函數f(x)=x2+bx-
1
4
為偶函數，且f(cos
B
2
)=0．
（1）求角B的大��；
（2）若△ABC的面積為
3
4
，其外接圓的半徑為
2
3
3
，求△ABC的周長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=
x2+bx+c，-4≤x＜0
-x+3，0≤x≤4
，且f（-4）=f（0），f（-2）=-1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）畫出函數f（x）的圖象，并寫出函數f（x）的定義域、值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=
x2-x+n
x2+x+1
(x∈R，x≠
n-1
2
，x∈N*)，f（x）的最小值為an，最大值為bn，記cn=（1-an）（1-bn）
則數列{cn}是
常數
常數
數列．（填等比、等差、常數或其他沒有規(guī)律）

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